Question

18．已知四棱錐S-ABCD的底面為平行四邊形SD⊥面ABCD，SD=1，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，M、N分別為SB、SC中點，過MN作平面MNPQ分別與線段CD、AB相交于點P、Q．
（1）在圖中作出平面MNPQ，使面MNPQ∥面SAD，并指出P、Q的位置
（不要求證明）；
（2）若$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，求二面角M-PQ-B的平面角大小？

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DC中點P，AB中點Q，連MQ、PQ、NP，則作出平面MNPQ，使面MNPQ∥面SAD．
（Ⅱ）由余弦定理求得$BD=2\sqrt{3}$，從而AD⊥BD，以D為原點，直線DA為x軸，直線DB為y軸，直線DS為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-PQ-B的大小．

解答 解：（Ⅰ）如圖，P是DC的中點，Q是AB的中點，
取DC中點P，AB中點Q，連MQ、PQ、NP，則作出平面MNPQ，使面MNPQ∥面SAD．
（若NP．PQ未作成虛線，扣兩分）…（4分）
（Ⅱ）在平行四邊形ABCD中，設AB=2AD=4，∠DCB=60°，
所以由余弦定理得$BD=2\sqrt{3}$，有AB²=AD²+BD²，所以AD⊥BD，…．（5分）
以D為原點，直線DA為x軸，直線DB為y軸，直線DS為z軸建立空間直角坐標系，
且$A（{1，0，0}），B（{0，\sqrt{3}，0}），S（{0，0，1}），M（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，
又$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，設Q（x，y，z），則$Q（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0}）$…（7分）
設平面的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{MQ}=0}\end{array}}\right.$得$\overrightarrow n=（{0，-\sqrt{3}，1}）$，…（9分）
易知面ABCD的法向量為$\overrightarrow m=（{0，0，1}）$
則$cos\left?{\vec m，\left.{\vec n}\right＞}\right.=\frac{{|{\overrightarrow m\overrightarrow{•n}}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{2}$
所以二面角M-PQ-B為60°…（12分）

點評 本題考查滿足條件的平面的作法，考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．