Question

2．已知動點P到雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦點F₁、F₂的距離之和為4．
（Ⅰ）求動點P的軌跡E的標準方程；
（Ⅱ）若過點F₁的直線l交軌跡E于A，B兩個不同的點，試問：在x軸上能否存在一個定點M，使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$為定值λ？若存在，請求出定點M與定值λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由雙曲線方程求出焦點坐標，再由動點P到F₁、F₂的距離之和為4，結合橢圓定義可得動點P的軌跡E是以
F₁、F₂為焦點，以4為長軸長的橢圓，則動點P的軌跡E的標準方程可求；
（Ⅱ）當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為$y=k（x+\sqrt{3}）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．聯立直線方程與橢圓方程，利用根與系數的關系求得A，B橫坐標的和與積，結合$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$為定值λ，得$（4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11-4λ）{k}^{2}+{m}^{2}-4-λ=0$對任意k∈R均成立．得到$\left\{{\begin{array}{l}{4{m^2}+8\sqrt{3}m+11-4λ=0}\\{{m^2}-4-λ=0}\end{array}}\right.$，解得m與λ的值，可得當直線l的斜率存在時，存在定點$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$滿足條件，此時定值$λ=-\frac{13}{64}$；當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：$x=-\sqrt{3}$．聯立直線方程與橢圓方程，解得A，B的坐標，對于定點$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$，滿足$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=$-\frac{13}{64}$．可得存在定點$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$滿足條件，此時定值$λ=-\frac{13}{64}$．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁、F₂是雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦點，
∴${F_1}（-\sqrt{3}，0）$，${F_2}（\sqrt{3}，0）$，
∵動點P到F₁、F₂的距離之和為4，
∴動點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點，以4為長軸長的橢圓，
∴動點P的軌跡E的標準方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）①當直線l的斜率存在時，
可設直線l的方程為$y=k（x+\sqrt{3}）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，得$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}+8\sqrt{3}{k}^{2}x+12{k}^{2}-4=0$．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$．
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=（m-{x_1}，-{y_1}）•（m-{x_2}，-{y_2}）$=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂
=$（m-{x_1}）（m-{x_2}）+{k^2}（{x_1}+\sqrt{3}）（{x_2}+\sqrt{3}）$
=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+（\sqrt{3}{k^2}-m）（{x_1}+{x_2}）+3{k^2}+{m^2}$
=$（{k^2}+1）×\frac{{12{k^2}-4}}{{4{k^2}+1}}+（\sqrt{3}{k^2}-m）（-\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{4{k^2}+1}}）+3{k^2}+{m^2}$
=$\frac{{（4{m^2}+8\sqrt{3}m+11）{k^2}+{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$．
由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=λ$，得$\frac{（4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11）{k}^{2}+{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}=λ$，
∴$（4{m}^{2}+8\sqrt{3}m+11-4λ）{k}^{2}+{m}^{2}-4-λ=0$對任意k∈R均成立．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{4{m^2}+8\sqrt{3}m+11-4λ=0}\\{{m^2}-4-λ=0}\end{array}}\right.$，解得$m=-\frac{9\sqrt{3}}{8}，λ=-\frac{13}{64}$．
∴當直線l的斜率存在時，存在定點$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$滿足條件，此時定值$λ=-\frac{13}{64}$；
②當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：$x=-\sqrt{3}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．
不妨取$A（-\sqrt{3}，-\frac{1}{2}），B（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．
對于定點$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}+\sqrt{3}，\frac{1}{2}）•（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}+\sqrt{3}，-\frac{1}{2}）=-\frac{13}{64}$．
∴當直線l的斜率不存在時，定點$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$也滿足條件，此時定值$λ=-\frac{13}{64}$．
綜上可知：存在定點$M（-\frac{{9\sqrt{3}}}{8}，0）$滿足條件，此時定值$λ=-\frac{13}{64}$．

點評 本題考查雙曲線標準方程的求法，考查了雙曲線的簡單性質，考查直線與雙曲線位置關系的應用，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．