Question

11．已知△ABC的內角A，B，C對邊分別為a，b，c，若滿足$\frac{2c-b}{a}$=$\frac{cosB}{cosA}$，且$a=2\sqrt{5}$，則△ABC面積的最大值5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理化簡已知等式可得2sinC•cosA=sinC，由于sinC≠0．可求cosA，進而可得∠A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理，基本不等式可求bc≤20，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵$\frac{2c-b}{a}$=$\frac{cosB}{cosA}$，
∴（2c-b）•cosA=a•cosB，
由正弦定理，得（2sinC-sinB）•cosA=sinA•cosB．
整理得2sinC•cosA-sinB•cosA=sinA•cosB．
∴2sinC•cosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∠A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，a=2$\sqrt{5}$．
∴b²+c²-20=bc≥2bc-20
∴bc≤20，當且僅當b=c時取“=”．
∴三角形的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤5$\sqrt{3}$．
∴三角形面積的最大值為5$\sqrt{3}$．
故答案為：5$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．