Question

1．已知函數f（x），g（x）是定義在R上的一個奇函數和偶函數，且f（x-1）+g（x-1）=2^x，則函數f（x）=2^x-2^-x．

Answer 1

分析 根據題意，由于f（x-1）+g（x-1）=2^x，則f（x）+g（x）=2^x+1，同理可得f（-x）+g（-x）=2^-x+1，利用函數的奇偶性可得-f（x）+g（x）=2^-x+1，②，聯立①②可得f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+1-2^-x+1），對其變形可得答案．

解答 解：根據題意，f（x-1）+g（x-1）=2^x，則f（x）+g（x）=2^x+1，①，
進而有f（-x）+g（-x）=2^-x+1，
又由函數f（x），g（x）是定義在R上的一個奇函數和偶函數，
則有f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x），
即有-f（x）+g（x）=2^-x+1，②，
聯立①②可得：f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+1-2^-x+1）=2^x-2^-x，
即f（x）=2^x-2^-x，
故答案為：2^x-2^-x

點評 本題考查函數奇偶性的應用，涉及函數解析式的求法，注意先求出f（x）+g（x）的解析式．