Question

11．對(duì)于函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{3π}{2}）cos（\frac{π}{2}+x）$，給出下列四個(gè)結(jié)論：
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為π；    
（2）若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂；
（3）f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)$x=-\frac{π}{4}$對(duì)稱(chēng)；
（4）f（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$上是減函數(shù)．
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)，求得函數(shù)周期判斷（1）；由f（x₁）=-f（x₂）得到x₁與x₂的關(guān)系判斷（2）；由f（-$\frac{π}{4}$）為函數(shù)最小值判斷（3）；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷（4）．

解答 解：$f（x）=sin（x+\frac{3π}{2}）cos（\frac{π}{2}+x）$=-cosx•（-sinx）=sinxcosx=$\frac{1}{2}sin2x$．
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為π，正確；
（2）若f（x₁）=-f（x₂），則$\frac{1}{2}sin2{x}_{1}=-\frac{1}{2}sin2{x}_{2}=\frac{1}{2}sin（-2{x}_{2}）$，
∴2x₁=-2x₂+2kπ（k∈Z）或2x₁-2x₂=π+2kπ（k∈Z），故（2）錯(cuò)誤；
（3）∵$f（-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}sin[2×（-\frac{π}{4}）]=-\frac{1}{2}$，∴f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)$x=-\frac{π}{4}$對(duì)稱(chēng)，故（3）正確；
（4）由x∈$[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$，得2x∈$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，得f（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$上是減函數(shù)，故（4）正確．
∴其中正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．