Question

19．設實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥1\\ x+y≤4\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，則目標函數z=x-3y的取值范圍為（　　）

• A． [-12，1]
• B． [-12，0]
• C． [-2，4]
• D． [1，4]

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，結合直線的截距，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：由z=x-3y得y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
作出不等式組對應的平面區域如圖（陰影部分）：
平移直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
由圖象可知當直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$經過點C（4，0）時，直線y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$的截距最小，
此時z最大，此時z=4，
經過點B時，直線截距最大，此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
代入目標函數z=x-3y，
得z=$\frac{5}{2}$-3×$\frac{3}{2}$=-2，
即-2≤z≤4，
故選：C．

點評 本題主要考查線性規劃的基本應用，利用目標函數的幾何意義是解決問題的關鍵，利用數形結合是解決問題的基本方法．