Question

7．已知在四棱錐C-ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE=1，M為AB的中點．
（1）求證：CM⊥EM；
（2）若直線DM與平面ABC所成角的正切值為2，求二面角B-CD-E的大小．

Answer 1

分析 （1）推導出CM⊥AB，DB⊥CM，從而CM⊥平面ABDE，由此能證明CM⊥EM．
（2）以點M為坐標原點，MC，MB所在直線分別為x，y軸，過M且與直線BD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-CD-E的大小．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，M為AB的中點，∴CM⊥AB．
又∵DB⊥平面ABC，
∴DB⊥CM，∴CM⊥平面ABDE，
∵EM?平面ABDE，∴CM⊥EM．（4分）
解：（2）如圖，以點M為坐標原點，MC，MB所在直線分別為x，y軸，
過M且與直線BD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系．
∵DB⊥平面ABC，∴∠DMB為直線DM與平面ABC所成的角．（6分）
由題意得tan$∠DMB=\frac{BD}{MB}=2$，即BD=2，故B（0，1，0），C（$\sqrt{3}，0，0$），D（0，1，2），E（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{BD}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{3}，-1，1$），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}，1，2$），
設平面BCD與平面CDE的法向量分別為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
同理求得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=0，∴二面角B-CD-E的大小為90°．（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．