Question

16．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，$\overrightarrow{a}$=（a₁，1），$\overrightarrow{b}$=（1，a₁₀），若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=20，且S₁₁=121，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，則數列{b_n}的前40項和為（　　）

• A． $\frac{72.8}{81}$
• B． $\frac{182}{81}$
• C． $\frac{364}{81}$
• D． $\frac{91}{81}$

Answer 1

分析 設設等差數列{a_n}的公差為d．利用$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=20，可得a₁+a₁₀=20，2a₁+9d=20．又S₁₁=121，可得11a₁+$\frac{11×10}{2}$d=121．聯立解得a₁=1，d=2．可得a_n=2n-1．b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$+$\frac{1}{2}（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）$，利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：設設等差數列{a_n}的公差為d．
∵$\overrightarrow{a}$=（a₁，1），$\overrightarrow{b}$=（1，a₁₀），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=20，
∴a₁+a₁₀=20．∴2a₁+9d=20．
又S₁₁=121，∴11a₁+$\frac{11×10}{2}$d=121．
聯立解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$+$\frac{1}{2}（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）$，
則數列{b_n}的前40項和=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{79}-\frac{1}{81}）]$+$\frac{1}{2}[（\sqrt{3}-1）+（\sqrt{5}-\sqrt{3}）$+…+$（\sqrt{81}-\sqrt{79}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{81}）$+$\frac{1}{2}（9-1）$
=$\frac{364}{81}$．
故選：C．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．