Question

4．已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸是x軸，頂點與焦點的距離等于4．
（1）求拋物線的方程
（2）若等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上，求這個等邊三角形的邊長．

Answer 1

分析 （1）設拋物線方程為y²=±2px（p＞0），由題意可得$\frac{p}{2}=4，p=8$，可得拋物線的方程；
（2）不妨以拋物線y²=16x進行計算．
 根據拋物線的對稱性可得∠AOx=30°，可設直線OA的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$得A（48，16$\sqrt{3}$），B（48，-16$\sqrt{3}$）．
即等邊三角形AOB的邊長為AB=32$\sqrt{3}$

解答 解：（1）設拋物線方程為y²=±2px（p＞0），由題意可得$\frac{p}{2}=4，p=8$
∴拋物線的方程為y²=±16x；
（2）不妨以拋物線y²=16x進行計算．
∵等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上，∴根據拋物線的對稱性可得（如圖）
∠AOx=30°，可設直線OA的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$得A（48，16$\sqrt{3}$）
根據對稱性得B（48，-16$\sqrt{3}$）．
∴AB=32$\sqrt{3}$，∴等邊三角形AOB的邊長為32$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線的方程、性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．