Question

6．已知函數f（x）=lnx-ax³-x．
（Ⅰ）直線y=k（x-1）為曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線，求實數k；
（Ⅱ）若$a≤\frac{e}{2}$，證明：f（x）＞lnx-xe^x．

Answer 1

分析 （I）利用導數的幾何意義可得切線的斜率，進而得出k．
（Ⅱ）解法一：即證：lnx-ax³-x＞lnx-x e^x，即證：ax³+x＜x e^x，因為x＞0，即證：ax²+1＜e^x，設h（x）=e^x-ax²-1，h'（x）=e^x-2ax，令h''（x）=e^x-2a．對a分類討論：（ i）當$a≤\frac{1}{2}$時，（ ii）當$a＞\frac{1}{2}$時，利用導數研究h′（x）及其h（x）的單調性即可證明．
解法二：即證：lnx-ax³-x＞lnx-x e^x，即證：x e^x＞ax³+x，因為x＞0，即證：e^x-ax²-1＞0，因為$a≤\frac{e}{2}$，即證${e^x}-\frac{e}{2}{x^2}-1＞0$，令$k（x）={e^x}-\frac{e}{2}{x^2}-1$，k'（x）=e^x-ex，k''（x）=e^x-e＞0，利用導數研究其單調性即可證明．

解答 （Ⅰ）解：由已知得f（1）=0，所以切點坐標（1，0）（1分）
又f（1）=0-a-1=0，得a=-1，（2分）
$f'（x）=\frac{1}{x}+3{x^2}-1$，所以k=f'（1）=1+3-1=3．（4分）
（Ⅱ）解法一：即證：lnx-ax³-x＞lnx-x e^x，即證：ax³+x＜x e^x，
因為x＞0，即證：ax²+1＜e^x，（5分）
設h（x）=e^x-ax²-1，h'（x）=e^x-2ax，令h''（x）=e^x-2a
（ i）當$a≤\frac{1}{2}$時，h''（x）＞0，h'（x）單調遞增，h'（x）＞h'（0）=1，
h（x）單調遞增，h（x）＞h（0）=0，滿足題意；（7分）
（ ii）當$a＞\frac{1}{2}$時，h''（x）=e^x-2a=0，解得x=ln2a，
當x∈（0，ln2a），h''（x）＜0，h'（x）單調遞減，
當x∈（ln2a，+∞），h''（x）＜0，h'（x）單調遞增，（9分）
此時$h'{（x）_{min}}=h'（ln2a）={{e}^{ln2a}}-2aln2a=2a（1-ln2a）$，（10分）
因為$a≤\frac{e}{2}$，1-ln2a≥0，即h'（x）_min＞0，h（x）單調遞增，h（x）＞h（0）=0，滿足題意；（11分）
綜上可得，當$a≤\frac{e}{2}$時，f（x）＞lnx-xe^x．（12分）
解法二：即證：lnx-ax³-x＞lnx-x e^x，即證：x e^x＞ax³+x，
因為x＞0，即證：e^x-ax²-1＞0，（5分）
因為$a≤\frac{e}{2}$，即證${e^x}-\frac{e}{2}{x^2}-1＞0$，（8分）
令$k（x）={e^x}-\frac{e}{2}{x^2}-1$，k'（x）=e^x-ex，k''（x）=e^x-e＞0，k'（x）單調遞增，k'（x）＞1，k（x）單調遞增，k（x）＞k（0）=0．
所以${{e}^x}＞\frac{e}{2}{x^2}+1≥a{x^2}+1$，故原不等式得證．（12分）

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價轉化方法、分析法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．