Question

1．已知函數(shù)f（x）=-x|x|+2x+1，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． f（x）是偶函數(shù)
• B． f（x）的遞減區(qū)間是（-1，1）
• C． 若方程f（x）+k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則-2≤k≤0
• D． 任意的a＞0，$f（lga）+f（lg\frac{1}{a}）=0$

Answer 1

分析 寫出分段函數(shù)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：f（x）=-x|x|+2x+1=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$．
作出函數(shù)圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
函數(shù)在（-1，1）上為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
若方程f（x）+k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則-2＜-k＜2，即-2＜k＜2，故C錯(cuò)誤；
∵當(dāng)a＞0時(shí)，lga與lg$\frac{1}{a}$互為相反數(shù)，則f（lga）+f（lg$\frac{1}{a}$）=0，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．