Question

9．如圖2，“六芒星”是由兩個全等正三角形組成，中心重合于點O且三組對邊分別平行．點A，B是“六芒星”（如圖1）的兩個頂點，動點P在“六芒星”上（內部以及邊界），若$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，則x+y的取值范圍是（　　）

• A． [-4，4]
• B． $[{-\sqrt{21}，\sqrt{21}}]$
• C． [-5，5]
• D． [-6，6]

Answer 1

分析 根據題意，畫出圖形，結合圖形，得出求x+y的最大值時﹐只需考慮圖中6個頂點的向量即可，分別求出即得結論．根據其對稱性，可知x+y的最小值

解答 解：設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$﹐$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{b}$﹐求x+y的最大值﹐只需考慮右圖中6個頂點的向量即可，討論如下﹔
（1）∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（1，0）；
（2）∵$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（3，1）；
（3）∵$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（2，1）； 
（4）∵$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FE}$+$\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$+（$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}$）=3$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，∴（x，y）=（3，2）； 
（5）∵$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FE}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（1，1）； 
（6）∵$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{b}$﹐∴（x，y）=（0，1）﹒
∴x+y的最大值為3+2=5﹒
根據其對稱性，可知x+y的最小值為-5﹒
故x+y的取值范圍是[-5，5]，
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的加法運算及其幾何意義問題，解題時應根據題意，畫出圖形，結合圖形解答問題．