Question

4．已知函數f（x）滿足$f（x）+1=\frac{1}{{f（{x+1}）}}$，當0≤x≤1時，f（x）=x，若方程f（x）-mx-m=0（x∈（-1，1]）有兩個不同實數根，則實數m的最大值是（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，作出f（x）與y=m（x+1）的函數圖象，根據圖象和交點個數求出m的最大值．

解答 解：當x∈（-1，0）時，f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}-1$=$\frac{1}{x+1}-1$，
∵方程f（x）-mx-m=0（x∈（-1，1]）有兩個不同實數根，
∴f（x）與y=m（x+1）在（-1，1]上有兩個交點，
作出f（x）與y=m（x+1）在（-1，1]上的函數圖象如圖所示：

由圖象可知當直線y=m（x+1）經過點（1，1）時，斜率最大，此時m=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了方程根與函數圖象的關系，屬于中檔題．