Question

15．設函數f（x）=（x-a）|x-a|-x|x|+2a+1（a＜0，）若存在x₀∈[-1，1]，使f（x₀）≤0，則a的取值范圍為[-3，-2+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 化簡f（x）的解析式，判斷f（x）的單調性，討論f（x）的單調區間與區間[-1，1]的關系，求出f（x）在[-1，1]上的最小值，令最小值小于或等于零解出a．

解答 解：∵存在x₀∈[-1，1]，使f（x₀）≤0，
∴f_min（x）≤0，x∈[-1，1]．
當x≤a時，f（x）=（x-a）（a-x）+x²+2a+1=2ax-a²+2a+1，
∴f（x）在（-∞，a]上單調遞減；
當a＜x＜0時，f（x）=（x-a）²+x²+2a+1=2x²-2ax+a²+2a+1，
∴f（x）在（a，$\frac{a}{2}$）上單調遞減，在（$\frac{a}{2}$，0）上單調遞增；
當x≥0時，f（x）=（x-a）²-x²+2a+1=-2ax+a²+2a+1，
∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增．
（1）若$\frac{a}{2}≤$-1，即a≤-2時，f（x）在[-1，1]上單調遞增，
∴f_min（x）=f（-1）=a²+4a+3≤0，
解得-3≤a≤-1，∴-3≤a≤-2；
（2）若$-1＜\frac{a}{2}＜0$，即-2＜a＜0時，f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$]上單調遞減，在（$\frac{a}{2}$，1]上單調遞增，
∴f_min（x）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1≤0，
解得-2-$\sqrt{2}$≤a≤-2+$\sqrt{2}$，∴-2＜a≤-2+$\sqrt{2}$．
綜上，a的取值范圍是[-3，-2+$\sqrt{2}$]．
故答案為：[-3，-2+$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了二次函數的單調性與最值，函數恒成立問題，分類討論思想，屬于中檔題．