Question

4．已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n+1，則數列$\{\frac{a_n}{n}\}$的前n項和為（　　）

• A． $\frac{{{n^2}+5n}}{2}$
• B． $\frac{{{n^2}+5n}}{4}$
• C． $\frac{{{n^2}+3n}}{2}$
• D． $\frac{{{n^2}+3n}}{4}$

Answer 1

分析 利用累加求和方法可得a_n，再利用等差數列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+n+1，∴n≥2時，a_n-a_n-1=n．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n=1時也成立）．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n+1}{2}$．
則數列$\{\frac{a_n}{n}\}$的前n項和為=$\frac{1}{2}×\frac{n（2+n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、累加求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．