Question

9．已知數列{a_n}是等差數列，且$\left\{{{2^{a_n}}}\right\}$的第3項為8，第5項為128．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數列的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${2}^{{a}_{3}}$=8，$，{2}^{{a}_{5}}$=128，可得a₃=3，a₅=7，再利用等差數列的通項公式及其性質即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：（1）由${2}^{{a}_{3}}$=8，$，{2}^{{a}_{5}}$=128，可得a₃=3，a₅=7，
設數列{a_n}的公差為d，則2d=a₅-a₃=4⇒d=2，
所以a_n=a₃+（n-3）d=2n-3．
（2）因為${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，
所以T_n=$\frac{1}{2}[（-1-1）$+$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]$=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{2n-1}）$=$\frac{n}{1-2n}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．