Question

19．已知函數f（x）=cos（x+ϕ）（-π＜ϕ＜0），g（x）=f（x）+f'（x）是偶函數．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）求函數y=f（x）•g（x）在區間$[{0，\frac{π}{2}}]$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據導函數的計算求出f'（x），利用g（x）=f（x）+f'（x）是偶函數．即可求出ϕ的值
（Ⅱ）函數y=f（x）•g（x），求出函數y的解析式，化簡，x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$的時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=cos（x+ϕ）（-π＜ϕ＜0），
那么：f′（x）=-sin（x+ϕ）
依題意，g（x）=f（x）+f'（x）=cos（x+ϕ）-sin（x+ϕ）=$\sqrt{2}cos（x+ϕ+\frac{π}{4}）$．
∵g（x）=f（x）+f'（x）是偶函數，
∴$cos（ϕ+\frac{π}{4}）=±1$．
又∵-π＜ϕ＜0，
∴$ϕ=-\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$f（x）=cos（x-\frac{π}{4}）$，$g（x）=f（x）+f'（x）=\sqrt{2}cosx$．
那么函數$y=f（x）•g（x）=\sqrt{2}cos（x-\frac{π}{4}）cosx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$．
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$時，可得：$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$
∴$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}∈[{1，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}}]$，
故函數y=f（x）•g（x）在區間$[{0，\frac{π}{4}}]$的最大值為$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數的導函數求法以及化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．