Question

8．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，設b_n=$\frac{a_n}{n}$，n∈N*．
（1）證明{b_n}是等比數列（指出首項和公比）；
（2）求數列{log₂b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}$=2•$\frac{a_n}{n}$．可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，即可證明．
（2）由（1）可知b_n=1•2^n-1=2^n-1，可得log₂b_n=log₂ 2^n-1=n-1．利用等差數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）證明：由a_n+1=$\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}$=2•$\frac{a_n}{n}$．所以b_n+1=2b_n，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2．
又因為b₁=$\frac{a_1}{1}=1$，所以數列{b_n}是以1為首項，公比為2的等比數列．
（2）由（1）可知b_n=1•2^n-1=2^n-1，所以log₂b_n=log₂ 2^n-1=n-1．
則數列{log₂b_n}的前n項和T_n=1+2+3+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式、對數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．