Question

18．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，則2$\sqrt{ab}$-4a²-b²的最大值是$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，
∴2$\sqrt{ab}$-4a²-b²=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2ab}$-[（2a）²+b²]≤$\sqrt{2}$•$\frac{2a+b}{2}$-$\frac{（2a+b）^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
當且僅當a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$時，等號成立，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

點評 本題考查了基本不等式及其變形應用，屬于基礎題．