Question

3．直線$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=9-t}\end{array}\right.$（t為參數）被圓$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ+3}\\{y=5sinθ-1}\end{array}\right.$（θ為參數）所截得的弦長為$2\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分別化直線與圓的參數方程為普通方程，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=9-t}\end{array}\right.$，得x+y-8=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ+3}\\{y=5sinθ-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-3=5cosθ}\\{y+1=5sinθ}\end{array}\right.$，
兩式平方作和得：（x-3）²+（y+1）²=25．
∴圓心坐標為（3，-1），半徑為5．
圓心到直線的距離d=$\frac{|1×3+1×（-1）-8|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$．
∴直線被圓所截弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-p9vv5xb5^{2}}=2\sqrt{25-18}=2\sqrt{7}$．
故答案為：$2\sqrt{7}$．

點評 本題考查參數方程化普通方程，考查了直線與圓位置關系的應用，考查垂徑定理的應用，是基礎題．