Question

15．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-1，{b_n}是等差數列，且b₁=a₁，b₄=a₃．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若${c_n}=\frac{2}{a_n}-\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：（1）因為S_n=2a_n-1，所以S_n+1=2a_n+1-1，兩式相減，得S_n+1-S_n=a_n+1-2a_n，
∴a_n+1=2a_n．又當n=1時，S₁=a₁=2a₁-1，∴a₁=1．
所以數列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，所以${a_n}={2^{n-1}}$，
∴b₁=a₁=1，b₄=a₃=4．因為當數列{b_n}為等差數列，∴b_n=n．
（2）據（1）可知${a_n}={2^{n-1}}，{b_n}=n$，
∴${c_n}=\frac{2}{a_n}-\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=2•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}-\frac{1}{{n（{n+1}）}}=2•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}-（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$，
∴${T_n}=\frac{{2（{1-\frac{1}{2^n}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=4（{1-\frac{1}{2^n}}）-\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．