Question

5．已知函數f（x）=a^x+log_ax（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（5a-3）＞f（3a），求實數a的取值范圍；
（2）若a=2
①求證：f（x）的零點在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上；
②求證：對任意λ＞0，存在μ＞0，使f（x）＜0在（0，λμ）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）討論a的范圍，得出f（x）的單調性，利用單調性和定義域列出不等式組解出a的范圍；
（2）①利用零點的存在性定理證明；
②利用f（x）的單調性和f（$\frac{1}{4}$）＜0即可得出結論．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
若a＞1，則f（x）為增函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5a-3＞3a}\\{5a-3＞0}\\{3a＞0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{3}{2}$，
若0＜a＜1，則f（x）為減函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5a-3＜3a}\\{5a-3＞0}\\{3a＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{3}{5}$＜a＜1．
∴a的取值范圍是（$\frac{3}{5}$，1）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）．
（2）證明：①當a=2時，f（x）=2^x+log₂x，∴f（x）是增函數．
又∵f（$\frac{1}{4}$）=2${\;}^{\frac{1}{4}}$+log₂$\frac{1}{4}$=2${\;}^{\frac{1}{4}}$-2＜0，f（$\frac{1}{2}$）=2${\;}^{\frac{1}{2}}$+log₂$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$-1＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上存在唯一一個零點．
②由①知f（$\frac{1}{4}$）＜0，又f（x）是增函數，
∴f（x）＜0在（0，$\frac{1}{4}$）上恒成立，
∴對任意λ＞0，總存在μ＞0，使得λμ=$\frac{1}{4}$，∴f（x）＜0在（0，λμ）上恒成立．

點評 本題考查了指數函數，對數函數的性質，函數單調性的應用，零點的存在性定理，屬于中檔題．