Question

12．某工廠的污水處理程序如下：原始污水必先經過A系統處理，處理后的污水（A級水）達到環保標準（簡稱達標）的概率為p（0＜p＜1）．經化驗檢測，若確認達標便可直接排放；若不達標則必須進行B系統處理后直接排放．
某廠現有4個標準水量的A級水池，分別取樣、檢測．多個污水樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗．混合樣本中只要有樣本不達標，則混合樣本的化驗結果必不達標．若混合樣本不達標，則該組中各個樣本必須再逐個化驗；若混合樣本達標，則原水池的污水直接排放．
現有以下四種方案，
方案一：逐個化驗；
方案二：平均分成兩組化驗；
方案三：三個樣本混在一起化驗，剩下的一個單獨化驗；
方案四：混在一起化驗．
化驗次數的期望值越小，則方案的越“優”．
（Ⅰ） 若$p=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，求2個A級水樣本混合化驗結果不達標的概率；
（Ⅱ） 若$p=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，現有4個A級水樣本需要化驗，請問：方案一，二，四中哪個最“優”？
（Ⅲ） 若“方案三”比“方案四”更“優”，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算2個A級混合樣本達標的概率，再根據對立事件原理求得它們不達標的概率；
（II）計算方案一：逐個檢測，檢測次數為ξ=4；
方案二：檢測次數為ξ₂，則ξ₂可能取值為2，4，6，求概率分布列，計算數學期望；
方案四：混在一起檢測，檢測次數為ξ₄，則ξ₄可取值為1，5，求概率分布列，計算數學期望；
比較得出選擇方案幾最“優”；
（III）方案三：化驗次數為η₃，則η₃可取值為2，5，求概率分布列，計算數學期望；
方案四：化驗次數為η₄，則η₄可取值為1，5，求概率分布，計算數學期望；
由題意列不等式E（η₃）＜E（η₄），求出p的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）2個A級混合樣本達標的概率是${（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^2}=\frac{4}{5}$，…（2分）
所以根據對立事件原理，2個A級混合樣本不達標的概率為$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$；…（4分）
（II）方案一：逐個檢測，檢測次數為ξ=4；
方案二：由（I）知，每組2個樣本的檢測時，若達標則檢測次數為1，概率為$\frac{4}{5}$；
若不達標則檢測次數為3，概率為$\frac{1}{5}$；
 故方案二的檢測次數為ξ₂，則ξ₂可能取值為2，4，6；
其概率分布列如下，

ξ2	2	4	6
P	${（{\frac{4}{5}}）^2}$	$C_2^1×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$	${（{\frac{1}{5}}）^2}$

可求得方案二的期望為$E（{ξ_2}）=2×\frac{16}{25}+4×\frac{8}{25}+6×\frac{1}{25}=\frac{70}{25}$；…（6分）
方案四：混在一起檢測，記檢測次數為ξ₄，
則ξ₄可取值為1，5；其概率分布列如下：

ξ4	1	5
P	${（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^4}$	$1-{（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^4}$

可求得方案四的期望為$E（{ξ_4}）=1×\frac{16}{25}+5×\frac{9}{25}=\frac{61}{25}$，…（8分）
比較可得E（ξ₄）＜E（ξ₂）＜4，故選擇方案四最“優”；…（9分）
（III）方案三：設化驗次數為η₃，則η₃可取值為2，5；
其概率分布為：

η3	2	5
P	p3	1-p3

數學期望為$E（{η_3}）=2•{p^3}+5（{1-{p^3}}）=5-3{p^3}$；…（10分）
方案四：設化驗次數為η₄，則η₄可取值為1，5；
其概率分布為：

η4	1	5
P	p4	1-p4

數學期望為$E（{η_4}）=1•{p^4}+5（{1-{p^4}}）=5-4{p^4}$；…（11分）
由題意得E（η₃）＜E（η₄），所以5-3p³＜5-4p⁴，解得p＜$\frac{3}{4}$；
所以當$0＜p＜\frac{3}{4}$時，方案三比方案四更“優”…（12分）

點評 本題考查了離散型隨機變量的概率分布列與數學期望的應用問題，是概率分布中較難的題目．