Question

14．已知a，b，c是正實數，且a+b+c=1，則$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的最小值為9．

Answer 1

分析 由則$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=3+（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$），利用基本不等式即可求出

解答 解：a+b+c=1，則$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}$+$\frac{a+b+c}{c}$，
=1+$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$+1+$\frac{a}$+$\frac{c}$+1+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$，
=3+（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$），
≥3+2+2+2=9，當且僅當a=b=c=$\frac{1}{3}$時取等號，
故$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的最小值為9，
故答案為：9

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了變形的能力，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．