Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上三點A，B，P（位于x軸同側）橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（Ⅰ）當A的坐標為（0，1），AF₁∥BF₂時，求$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$的值
（Ⅱ）當直線AP經過點（-2，0），且BP⊥y軸時，判斷直線AF₁與BF₂的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓方程；求得丨AF₁丨=$\sqrt{2}$，設直線BF₂的方程，代入橢圓方程，即可求得B點坐標，即可求得
丨BF₂丨，即可求得$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$的值；
（Ⅱ）由題意可得：設直線AP的方程，代入橢圓方程，利用直線的斜率公式及韋達定理可得${k}_{A{F}_{1}}$-${k}_{B{F}_{2}}$=0，則直線AF₁與BF₂平行．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：c=1，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
由A（0，1），F₁（-1，0），丨AF₁丨=$\sqrt{2}$，
則直線AF₁的斜率k=$\frac{1-0}{0-（-1）}$=1，則直線BF₂的方程y=x-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
由A，B，P（位于x軸同側）則B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
丨BF₂丨=$\sqrt{（\frac{4}{3}-1）^{2}+（\frac{1}{3}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}$=3
$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$的值3；
（Ⅱ）由直線AP經過點（-2，0），設直線AP：y=k（x+2），設A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
由BP⊥y軸，則B（-x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
則AF₁的斜率${k}_{A{F}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}+1}$，BF₂的斜率${k}_{B{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}}{-{x}_{2}-1}$，
則${k}_{A{F}_{1}}$-${k}_{B{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}+1）+{y}_{2}（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
由y₂（x₁+1）+（x₂+1）y₁=k₂（x₂+2）（x₁+1）+（x₂+1）×k₁（x₁+2）=k[2x₁x₂+3（x₁+x₂）+4]
=k[2×$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+3×（-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+4]=0，
∴${k}_{A{F}_{1}}$=${k}_{B{F}_{2}}$，
∴直線AF₁與BF₂平行．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．