Question

20．下列命題中，所有正確命題的序號為①②③④
 ①若$\overrightarrow{n_1}、\overrightarrow{n_2}$分別是平面α、β的法向量，則$\overrightarrow{n_1}$∥$\overrightarrow{n_2}$?α∥β
 ②若$\overrightarrow{n_1}、\overrightarrow{n_2}$分別是平面α、β的法向量，則α⊥β?$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}=0$
 ③若$\overrightarrow n$是平面α的法向量，$\overrightarrow a$與α共面，則$\overrightarrow n$⊥$\overrightarrow a$．
 ④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直．

Answer 1

分析 ①由面面平行則法向量共線，反之亦然判斷；②由面面垂直的定義判斷；③由線在垂直的性持定理判斷；④由面面垂直的定義判斷．

解答 解：①中平面α，β是指不重合兩平面，由$\overrightarrow{n_1}$∥$\overrightarrow{n_2}$⇒α∥β，由α∥β⇒$\overrightarrow{n_1}$∥$\overrightarrow{n_2}$，正確；
②α⊥β，則α與β成90°角，由圓的內接四邊形對頂角互補知法向量垂直，反之當法向量垂直，則成90°，由內接四邊形對頂角互補，知兩平面垂直．正確；
③a與α共面，則a在平面內或與平面平行，∴平面的法向量與直線a垂直，正確；
④若兩個平面的法向量不垂直，則成角不是90°，則由圓內角四邊形對頂角互補知兩平面所成的角不是90°，正確．
∴正確命題的序號實數①②③④．
故答案為：①②③④．

點評 本題主要考查用向量法來解決面面平行，面面垂直等問題，是中檔題．