Question

16．在數列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a為常數），若平面上的三個不共線的非零向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$滿足$\overrightarrow{OC}$=a₁$\overrightarrow{OA}$+a₂₀₁₄$\overrightarrow{OB}$，A，B，C三點共線且該直線不過O點，則S₂₀₁₄等于（　　）

• A． 1007
• B． 1006
• C． 2010
• D． 2012

Answer 1

分析 先可判斷數列{a_n}為等差數列，而根據$\overrightarrow{OC}$=a₁$\overrightarrow{OA}$+a₂₀₁₄$\overrightarrow{OB}$，及三點A，B，C共線即可得出a₁+a₂₀₁₄=1，從而根據等差數列的前n項和公式即可求出S₂₀₁₄的值．

解答 解：由a_n+1=a_n+a得，a_n+1-a_n=a；
∴{a_n}為等差數列；
由$\overrightarrow{OC}$=a₁$\overrightarrow{OA}$+a₂₀₁₄$\overrightarrow{OB}$，A，B，C三點共線；
∴a₁+a₂₀₁₄=1，
∴S₂₀₁₄=$\frac{1}{2}×2014$=1007．
故選：A

點評 考查等差數列的定義，三點A，B，C共線的充要條件：$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，等差數列的通項公式，及等差數列的前n項和公式