Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ為參數）$，以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）將曲線C₁上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的$\sqrt{3}$、2倍后得到曲線C₂；試寫出直線l的直角坐標方程和曲線C₂的參數方程；
（2）在曲線C₂上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l的直角坐標方程為2x-y-6=0，由于曲線C₂的直角坐標方程為：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，可得曲線C₂的參數
方程．
（Ⅱ）設點P的坐標（$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），則點P到直線l的距離為：d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4sin（60°-θ）-6|}{\sqrt{5}}$，故當sin（60°-θ）=-1時，點P（-$\frac{3}{2}$，1），從而得到d的最大值．

解答 解：（Ⅰ） 由題意知，直線l的直角坐標方程為：2x-y-6=0，
∵曲線C₂的直角坐標方程為：$（\frac{x}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}$=1，
∴曲線C₂的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．…（5分）
（Ⅱ）設點P的坐標（$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），則點P到直線l的距離為：d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4sin（60°-θ）-6|}{\sqrt{5}}$，故當sin60°-θ）=-1時，點P（-$\frac{3}{2}$，1），
此時d_max=2$\sqrt{5}$．…（10分）

點評 本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，求出點P的坐標，是解題的難點．