Question

1．已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，則三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 據三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得S在面ABC上的射影為AB中點H，SH⊥平面ABC，在面SHC內作SC的垂直平分線MO與SH交于O，則O為SABC的外接球球心，OH為O與平面ABC的距離，由此可得結論．

解答 解：∵三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB=SC，
∴S在面ABC上的射影為AB中點H，∴SH⊥平面ABC．
∴SH上任意一點到A、B、C的距離相等．
∵SH=$\sqrt{3}$，CH=1，在面SHC內作SC的垂直平分線MO與SH交于O，
則O為SABC的外接球球心．
∵SC=2，
∴SM=1，∠OSM=30°，
∴SO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即為O與平面ABC的距離．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查點到面的距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，確定OH是O與平面ABC的距離是關鍵．