Question

6．已知各項為正的等比數列{a_n}中，a₃與a₂₀₁₅的等比中項為2$\sqrt{2}$，則2a₄+a₂₀₁₄的最小值為8．

Answer 1

分析 由已知求出a₁₀₀₉=2$\sqrt{2}$，利用等比數列通項公式得2a₄+a₂₀₁₄=$\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}$+${a}_{1009}•{q}^{1005}$，由此能求出2a₄+a₂₀₁₄的最小值．

解答 解：∵各項為正的等比數列{a_n}中，a₃與a₂₀₁₅的等比中項為2$\sqrt{2}$，
∴a₃•a₂₀₁₅=${{a}_{1009}}^{2}$=（2$\sqrt{2}$）²=8，∴a₁₀₀₉=2$\sqrt{2}$，
2a₄+a₂₀₁₄=$\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}$+${a}_{1009}•{q}^{1005}$≥2$\sqrt{\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}×{a}_{1009}•{q}^{1005}}$=2$\sqrt{2}$a₁₀₀₉=2$\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=8．
當且僅當$\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}={a}_{1009}•{q}^{1005}$時，取等號，
∴2a₄+a₂₀₁₄的最小值為8．
故答案為：8．

點評 本題考查等比數列的兩項和的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．