Question

5．已知兩個函數f（x）=log₄（a$•{2}^{x}-\frac{4}{3}a$）（a≠0），g（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}x$的圖象有且只有一個公共點，則實數a的取值范圍是{a|a＞1或a=-3}．．

Answer 1

分析 根據函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，化簡得出即可得到結論

解答 g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），
函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，即
方程f（x）=g（x）只有一個解
由已知得log₄（4^x+1）$-\frac{1}{2}$x=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），

∴log₄（$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），
方程等價于$\left\{\begin{array}{l}{a•{2}^{x}-\frac{4}{3}a＞0}\\{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}=a•{2}^{x}-\frac{4}{3}a}\end{array}\right.$，
設2^x=t，t＞0，則（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0有一解
若a-1＞0，設h（t）=（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1，
∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解
∴a＞1滿足題意
若a-1=0，即a=1時，h（t）=-$\frac{4t}{3}$-1，由h（t）=0，得t=-$\frac{3}{4}$＜0，不滿足題意
若a-1＜0，即a＜1時，由△=（-$\frac{4}{3}$）²-4（a-1）×（-1）=0，得a=-3或a=$\frac{3}{4}$，
當a=-3時，t=$\frac{1}{2}$滿足題意
當a=$\frac{3}{4}$時，t=-2（舍去）
綜上所述實數a的取值范圍是{a|a＞1或a=-3}．
故答案為：{a|a＞1或a=-3}．

點評 本題主要考查函數與方程的運用，以及對數的基本運算，考查學生的運算能力，綜合性較強，做難題的意志能力．