Question

11．如圖，已知AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，AB=AC，點E，F分別是BC，A₁C的中點．
（1）求證：EF∥平面A₁B₁BA；
（2）求證：平面AEA₁⊥平面BCB₁．

Answer 1

分析 （1）連接A₁B，證明EF∥BA₁，利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面A₁B₁BA．
（2）證明AE⊥BC，BB₁⊥AE，推出AE⊥平面BCB₁，然后利用平面與平面垂直的判定定理證明平面AEA₁⊥平面BCB₁．

解答 證明：（1）如圖，連接A₁B，在△A₁BC中，因為E和F分別是BC，A₁C的中點，
所以EF∥BA₁，…（4分）
又因為EF?平面A₁B₁BA，所以EF∥平面A₁B₁BA．…（6分）
（2）因為AB=AC，E為BC中點，所以AE⊥BC，
因為AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，
所以BB₁⊥平面ABC，從而BB₁⊥AE，
又BC∩BB₁=B，所以AE⊥平面BCB₁，…（10分）
又因為AE?平面AEA₁，所以平面AEA₁⊥平面BCB₁．…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．