Question

2．已知a＞0且a≠1，函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，記F（x）=2f（x）+g（x）．
（1）求函數F（x）的定義域及其零點；
（2）若關于x的方程F（x）-m=0在區間[0，1）內有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可得F（x）的解析式，列出不等式組可得定義域，令F（x）=0，由對數函數的性質可解得x的值，注意驗證即可；
（2）化簡方程，設1-x=t∈（0，1]，構造函數y=t+$\frac{4}{t}$，可得單調性和最值，進而可得嗎的范圍．

解答 解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$（a＞0且a≠1）
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，可解得-1＜x＜1，
所以函數F（x）的定義域為（-1，1）
令F（x）=0，則2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$=0…（*）  
方程變為log_a（x+1）2=log_a（1-x），即（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3，經檢驗x=-3是（*）的增根，所以方程（*）的解為x=0
即函數F（x）的零點為0．
（2）方程可化為m=2log_a（x+1）+loga
$\frac{1}{1-x}$=log_a$\frac{{x}^{2}+2x+1}{1-x}$=log_a（1-x+$\frac{4}{1-x}$-4），
故a^m=1-x+$\frac{4}{1-x}$-4，設1-x=t∈（0，1]
函數y=t+$\frac{4}{t}$在區間（0，1]上是減函數
當t=1時，此時x=0，y_min=5，所以a^m≥1
①若a＞1，由a^m≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由a^m≥1可解得m≤0，
故當a＞1時，實數m的取值范圍為：m≥0，
當0＜a＜1時，實數m的取值范圍為：m≤0．

點評 本題考查函數的零點與方程的跟的關系，考查轉化思想，構造法的應用，是屬中檔題．