Question

已知直線x-2y+2=0經過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線x=

10

3

分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值．
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓上有兩點T₁，T₂，使得△T₁SB，△T₂SB的面積都為

1

5

，求直線T₁T₂在y軸上的截距．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,不等式的解法及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）因為直線過橢圓的左頂點與上頂點，故可解出直線與坐標軸的交點，即知橢圓的長半軸長與短半軸長，依定義寫出橢圓的方程即可．
（2）引入直線AS的斜率k，用點斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯立求出點M的坐標，以及點S的坐標，又點B的坐標已知，故可解 出直線SB的方程，亦用參數k表示的方程，使其與直線l聯立，求出點N的坐標，故線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數，根據其形式選擇單調性法或者基本不等式法求最值，本題適合用基本不等式求最值．
（3）在上一問的基礎上求出的參數k，則直線SB的方程已知，可求出線段SB的長度，若使面積為

1

5

，只須點T到直線BS的距離為

2

4

即可，由此問題轉化為研究與直線SB平行且距離為

2

4

的直線與橢圓的交點個數問題，求出平行直線l'，即有得到y軸上的截距．

解答： 解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-2，0），
上頂點為D（0，1），∴a=2，b=1，
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）依題意，直線AS的斜率k存在，且k＞0，
故可設直線AS的方程為y=k（x+2），從而M（

10

3

，

16k

3

），
由

y=k(x+2) x2+4y2=4

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
設S（x₁，y₁），則（-2）×x1=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

即S（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
又B（2，0）由

y=- 1 4k (x-2) x= 10 3

得

x= 10 3 y=- 1 3k

，
∴N（

10

3

，-

1

3k

），
故|MN|=|

16k

3

+

1

3k

|
又k＞0，∴|MN|=

16k

3

+

1

3k

≥2

16k 3 • 1 3k

=

8

3

，
當且僅當

16k

3

=

1

3k

，即k=

1

4

時等號成立．
∴k=

1

4

時，線段MN的長度取最小值

8

3

；．
（3）由（2）可知，當MN取最小值時，k=

1

4

，
此時BS的方程為x+y-2=0，S（

6

5

，

4

5

），∴|BS|=

4 2

5

，
要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于

1

5

，只須T到直線BS的距離等于

2

4

，
所以T在平行于BS且與BS距離等于

2

4

的直線l'上．
設直線l'：x+y+t=0，則由

|t+2|

2

=

2

4

，解得t=-

3

2

或t=-

5

2

．
又因為T為直線l'與橢圓C的交點，所以經檢驗得t=-

3

2

，此時點T有兩個滿足條件，
則直線l'：x+y-

3

2

=0，令x=0則y=

3

2

．
即有直線T₁T₂在y軸上的截距為

3

2

．

點評：本題是解析幾何中直線與圓錐曲線位置關系中很復雜的題目，要求答題者擁有較高的探究轉化能力以及對直線與圓錐曲線位置關系中特征有較好的理解，且運算能力較強才能勝任此類題的解題工作，這是一個能力型的題，好題．