Question

已知函數f（x）的定義域為R，且滿足f（x+2）=-f（x）．
（1）求證：f（x+4）=f（x）
（2）若函數f（x）為奇函數，且當-1≤x≤1時，f（x）=（

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2

）x，求f（x）在[-1，3]的解析式
（3）在（2）的條件下，求使f（x）=-

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2

在[0，2011]上的所有x的個數．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,抽象函數及其應用,函數的周期性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由已知等式f（x+2）=-f（x），用x+2替換x，結合函數周期性的定義和已知條件，不難得到f（x）是以4為一個周期的周期函數．
（2）根據函數在[-1，1]上的表達式，再設1＜x≤3，則得f（x-2）=

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2

(x-2)=-f（x）， 從而可得f（x）在區間（1，3]上的表達式，綜上所述，可得f（x）在[-1，3]的解析式．
（3）求出f（x）=-

1

2

時x的值．再根據函數的周期性求出在[0，2011]上的所有x的個數

解答： 解：（1）由題意可得：f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故f（x）的周期為4，
（2）∵當-1≤x≤1時，f（x）=

1

2

x，
設1＜x≤3，則-1＜x-2≤1，
∴f（x-2）=

1

2

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=

1

2

（x-2），
可得f（x）=-

1

2

（x-2）（1＜x≤3）．
綜上所述，f（x）在[-1，3]的解析式為：f（x）=

1 2 x(-1≤x≤1) 1 2 (x-2)(1＜x≤3)

；
（3）由f（x）=-

1

2

，解得x=-1．
∵f（x）是以4為周期的周期函數．故f（x）=-

1

2

的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2011，則

1

4

≤n≤503，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴在[0，2011]上共有503個x使f（x）=-

1

2

．

點評：本題以分段函數為例，求函數的周期并求函數的解析式，著重考查了函數的奇偶性、周期性，屬于基礎題．