Question

已知拋物線的頂點在原點，圖象關于y軸對稱，且拋物線上一點N（m，-2）到焦點的距離為6
（1）求此拋物線的方程；
（2）設拋物線方程的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于AB兩點，且交準線l于點M，已知

MA

=λ₁

AF

，

MB

=λ₂

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由已知設拋物線的方程為：x²=2py（p＜0），由N（m，-2）到準線的距離為6，可得：-

p

2

+2=6，解得p值后，可得拋物線的方程；
（2）設直線l：y=kx-4，M點坐標為（

8

k

，4），設直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx-4 x2=-16y

可得：x²+16kx-64=0，再由根的判別式和韋達定理能求出λ₁+λ₂的值．

解答： 解：（1）∵拋物線的頂點在原點，圖象關于y軸對稱，拋物線上一點N（m，-2）到焦點的距離為6，
∴可設拋物線的方程為：x²=2py（p＜0），
∴N（m，-2）到準線的距離為6，
即-

p

2

+2=6，解得：p=-8，
∴拋物線的方程為：x²=-16y，
（2）由已知得直線l的斜率一定存在，
由拋物線x²=-16y的焦點F為（0，-4），準線方程為y=4，
所以可設l：y=kx-4，則M點坐標為（

8

k

，4），
設直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-4 x2=-16y

⇒x²+16kx-64=0
∴x₁+x₂=-16k，x₁•x₂=-64，
又由

MA

=λ₁

AF

，

MB

=λ₂

BF

，
∴（x₁-

8

k

，y₁-4）=λ₁（-x₁，-4-y₁），
∴x₁-

8

k

=-λ₁x₁，
∴即λ₁=

8

kx1

-1，
同理λ₂=

8

kx2

-1，
∴λ₁+λ₂=

8

kx1

-1+

8

kx2

-1=

8(x1+x2)

kx1•x2

-2=0

點評：本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，熟練掌握拋物線的簡單性質，是解答的關鍵．