Question

數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n-a_n+1}，{a_n•a_n+1}是什么數(shù)列？

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先，設(shè)公比為q，首項(xiàng)為a₁，然后，分為當(dāng)公比q≠1和q=1兩種情形進(jìn)行討論求解．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴設(shè)公比為q，首項(xiàng)為a₁，則
當(dāng)公比q≠1時(shí)，
a_n=a₁q^n-1，
∴a_n+1=a₁qⁿ，
∴a_n-a_n+1=a₁q^n-1（1-q）（不是常數(shù)），
∴{a_n-a_n+1}不是等比數(shù)列，也不是等差數(shù)列，
設(shè)bn=a_n•a_n+1
∴

bn+1

bn

=

an+1an+2

anan+1

=q²（是常數(shù)），
∴數(shù)列{a_n•a_n+1}是等比數(shù)列．
當(dāng)公比q=1時(shí)，
{a_n-a_n+1}是等差數(shù)列，數(shù)列{a_n•a_n+1}是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和方法、性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．