Question

已知曲線D上任意一點P到兩個定點F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0）的距離之和為4．
（Ⅰ）求曲線D的方程；
（Ⅱ）過曲線D上一動點M作平行于x軸的直線m，設m與y軸的交點為N，若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求動點Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義，可求曲線D的方程；
（Ⅱ）設點M的坐標為（x₀，y₀）（y₀≠0），Q點坐標為（x，y），利用向量的坐標運算表示出M的坐標，再利用M點曲線D，其坐標適合方程，即可求得動點Q的軌跡方程，最后利用方程的形式進行判斷是什么曲線即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲線D上任意一點P到兩個定點F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0）的距離之和為4，
∴曲線D的軌跡是橢圓，且a=2，c=

3

，
∴b=1，
∴曲線D的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設點M的坐標為（x₀，y₀）（y₀≠0），Q點坐標為（x，y），則N點坐標是（0，y₀）
∵向量

OQ

=

OM

+

ON

，∴（x，y）=（x₀，2y₀）即x₀=x，y₀=

y

2

，
∵

x02

4

+y02=1，∴x²+y²=4（y≠0），
軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓（除去與x軸的交點）．

點評：本題考查橢圓的定義與方程，考查軌跡方程的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．