Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點，在直線CC₁上是否存在一點N，使得MN⊥AB₁？若存在，求出它的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：以A為原點，以AB順時針旋轉30°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，求出坐標A（0，0，0），B₁（

3

2

，

1

2

，2），M（

3

4

，

3

4

，0）
運用

AB1

•

MN

=0，解方程求解，注意0≤z≤2的應用．運用代數的方法求解幾何問題．

解答： 解：以A為原點，以AB順時針旋轉30°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點，
∴A（0，0，0），B₁（

3

2

，

1

2

，2），M（

3

4

，

3

4

，0）
設在側棱CC₁上是否存在點N（0，1，z），使得MN⊥AB₁，即使得異面直線AB₁與MN所成的角為90°，
∴

AB1

=（

3

2

，

1

2

，2），

MN

=（-

3

4

，

1

4

，z）
∵異面直線AB₁與MN所成角為90°，
∴

AB1

•

MN

=0，
-

3

8

+

1

8

+2z=0，z=

1

8

，0＜z＜2
解得z=

1

8

，符合題意．
∴在側棱CC₁上是存在點N，使異面直線AB₁與MN所成的角為90°，
即在側棱CC₁上是存在點N，使得MN⊥AB₁

點評：本題考查異面直線AB₁與MN所成的角，考查運算求解能力，推理論證能力，有一定的探索性．