Question

C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁F₂左右焦點，離心率為

1

2

，F₁到點（2，1）距離

10

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過F₂斜率為k（k不等于0）直線l與C交于EF兩點，A為C右頂點，直線AE，AF交直線x=4于MN兩點，過F₂作直線l′，l′⊥l，求證直線l′過MN的中點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用兩點間的距離公式可得c，再利用橢圓的標準方程及其性質即可得出a，b．
（Ⅱ）由題意得直線l、l′的方程，把直線l和橢圓方程聯立后利用根與系數關系求得E，F兩點的橫坐標的和與積，寫出AE和AF的方程，取x=4求得點M、N的坐標，再由中點坐標公式求出點P的坐標，利用韋達定理化簡P的縱坐標，把x=4代入l′的方程右邊，即可證明結論．

解答： （Ⅰ）解：因為左焦點F₁（-c，0）到點M（2，1）的距離為

10

，
所以

(-c-2)2+1

=

10

，解得c=1或c=-5（舍去），
由橢圓的離心率為

1

2

得，

c

a

=

1

2

，則a=2，即b²=a²-c²=3，
所求橢圓C的標準方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）證明：設點E（x₁，y₁），點F（x₂，y₂），
由題意得過右焦點F₂（1，0）的直線l方程為：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得，（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
又右焦點F₂（1，0）在橢圓內，則直線l和橢圓都相交，△＞0恒成立，
且x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
因為A（2，0），所以直線AE的方程為：y=

y1

x1-2

，
直線AF的方程為：y=

y2

x2-2

，
令x=4代入AE、AF的方程得，點M（4，

2y1

x1-2

）、N（4，

2y2

x2-2

），
所以線段MN的中點P的坐標是（4，

1

2

（

2y1

x1-2

+

2y2

x2-2

）），
又

1

2

（

2y1

x1-2

+

2y2

x2-2

））=

y1(x2-2)+y2(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

k(x1-1)(x2-2)+k(x2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-1)

=

k[2x1x2-3(x1+x2)+4]

x1x2-2(x1+x2)+4

=

k(2× 4k2-12 4k2+3 -3× 8k2 4k2+3 +4)

4k2-12 4k2+3 -2× 8k2 4k2+3 +4

=

k[2(4k2-12)-3×8k2+4(4k2+3)]

4k2-12-2×8k2+4(4k2+3)

=-

3

k

，
因為過點F₂與直線l垂直的直線l′方程是y=-

1

k

（x-1），
所以把x=4代入右邊得，y=-

3

k

，
則點P的坐標是（4，

1

2

（

2y1

x1-2

+

2y2

x2-2

））滿足直線l′方程是y=-

1

k

（x-1），
所以直線l′過線段MN的中點．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、兩點間的距離公式，直線方程等基礎知識與基本技能方法，要求考生具備較強的運算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．