Question

如圖，在矩形ODEF中，O為坐標原點，|OD|=2，|DE|=

3

，且滿足

OP

=λ

OD

，

EQ

=λ

ED

，直線CP與直線FQ相較于點M
（1）求點M的軌跡方程；
（2）當λ=

1

2

時，過點P與坐標軸不垂直的直線，交動點M的軌跡于1A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于R點，試判斷

|PR|

|AB|

是否為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由|OD|=2，|DE|=

3

，且滿足

OP

=λ

OD

，

EQ

=λ

ED

，可得P（2λ，0），Q(2，

3

-

3

λ)．于是直線CP的方程為：y=

3

2λ

x-

3

．直線FQ的方程為：y=-

3 λ

2

x+

3

．聯立解得x，y并消去參數λ即可得出．
（2）當λ=

1

2

時，P（1，0）．過點P與坐標軸不垂直的直線設為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點為M（x₀，y₀）．直線方程與橢圓方程聯立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，可得根與系數的關系，利用中點坐標公式可得M．即可得出線段AB的垂直平分線，可得R，可得|PR|．利用弦長公式可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．即可得出

|PR|

|AB|

為定值．

解答： 解：（1）∵|OD|=2，|DE|=

3

，且滿足

OP

=λ

OD

，

EQ

=λ

ED

，
∴P（2λ，0），Q(2，

3

-

3

λ)．
∴直線CP的方程為：y=

3

2λ

x-

3

．
直線FQ的方程為：y=-

3 λ

2

x+

3

．
聯立解得

x= 4λ 1+λ2 y= 3 - 3 λ2 1+λ2

，消去λ化為：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴點M的軌跡方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）當λ=

1

2

時，P（1，0）．
過點P與坐標軸不垂直的直線設為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點為M（x₀，y₀）．
聯立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，化為（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∴x₀=

4k2

3+4k2

，y₀=k（x₀-1）=

-3k

3+4k2

．
∴M(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)．
∴線段AB的垂直平分線為：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，
令y=0，解得x=

k2

3+4k2

．
∴R(

k2

3+4k2

，0)，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2 ]

=

12(1+k2)

3+4k2

．
|PR|=

3+3k2

3+4k2

．
∴

|PR|

|AB|

=

1

4

為定值．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線方程與橢圓方程聯立可得根與系數的關系、中點坐標公式、線段的垂直平分線方程、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．