Question

2．如圖1，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A、點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，已知點A、點B的坐標分別為A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線BC上方的拋物線上找一點P，使△PBC的面積最大，求P點的坐標；
（3）如圖2，連接BD、CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，過拋物線上一點M作MN⊥CD，交直線CD于點N，求當∠CMN=∠BDE時點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）將A（-1，0）、B（3，0）兩點代入得到關于a、b的方程組，可求得a、b的值；
（2）由題意設P（x，-x²+2x+3），過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q．先求得直線BC的解析式，則得到Q（x，-x+3），然后列出△BCD的面積與x的關系式，利用配方法可求得點P的橫坐標以及△CBD的面積的最大值；
（3）首先求得C點坐標為（0，3），頂點（1，4），E（1，0）則tan∠BDE=$\frac{1}{2}$．①當點M在對稱軸的右側時，作當點N在射線CD上時，如圖1，過點N作y軸的垂線，垂足為G，過點M作GN的垂線，垂足為H，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形．設CG=a，用含a的式子表示點M的坐標，然后將點M的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值；若點N在射線DC上，如圖，過點N作x軸的垂線l，分別過點M、C作GN的垂線，垂足為H、G，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，同理可求得此時a的值；②當點M在對稱軸左側時，拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°．

解答 解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）兩點代入y=ax²+bx+3得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，解得：a-1，b=2．
∴拋物線的表達式為：y=-x²+2x+3．
（2）由題意設P（x，-x²+2x+3），過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q．

將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，
∴點C的坐標為（0，3）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，將點B，C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3．
∴直線CB解析式：y=-x+3，則Q（x，-x+3）
∴PQ=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-x²+3x）×3=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴當x=$\frac{3}{2}$時，S_△BCD取最大值，
此時P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）∵拋物線y=-（x-3）（x+1）=-x²+2x+3與與y軸交于點C，
∴C點坐標為（0，3），頂點（1，4），E（1，0）
∴tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$．
①當點M在對稱軸的右側時．
（I）作當點N在射線CD上時，如圖2，過點N作y軸的垂線，垂足為G，
過點M作GN的垂線，垂足為H，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形．

∵∠CMN=∠BDE，
∴tan∠CMN=tan∠BDE=$\frac{1}{2}$=$\frac{CN}{MN}$．
∴△CNG，△MNH相似比為1：2
設CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，
∴M（3a，3+a-2a），即M（3a，3-a），
將點M的坐標代入拋物線的解析式得：-（3a）²+2×3a+3=3-a，解得：a=0（舍去）或a=$\frac{7}{9}$
此時M（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）．
（II）若點N在射線DC上，如圖3，過點N作x軸的垂線l，分別過點M、C作GN的垂線，垂足為H、G，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，
∴tan∠CMN=tan∠BDE=$\frac{1}{2}$=$\frac{CN}{MN}$，
∴△CNG與△MNH相似比為1：2
設CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，
∴M（a，3-a-2a），即M（a，3-3a），
將點M的坐標代入拋物線的解析式得：-a²+2a+3=3-3a，解得：a=0（舍去）或a=5，此時M（5，12）
②當點M在對稱軸左側時．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
∵拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，
∴點M不存在．
綜上可知，點M坐標為（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（5，12）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，三角形函數的定義、相似三角形的性質，作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．