Question

8．如圖，點O是直線EP上一點，射線OA，OB，OC在直線EF的上方，射線OD在直線EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）若∠DOF=30°，求∠AOB的度數；
（2）若OA平分∠BOE，則∠DOF的度數是30°（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）利用角平分線定理得到∠COD=2∠DOF=60°，再利用垂直定義得到∠BOD=90°，則∠BOC=30°，接著由OA⊥OC得到∠AOC=90°，然后利用互余計算∠AOB的度數；
（2）由角平分線定義得到∠AOB=∠AOE，再利用等角的余角相等得到∠BOC=∠COF，加上∠COF=∠DOF，于是得到∠DOF=$\frac{1}{3}$∠BOD=30°．

解答 解：（1）∵OF平分∠COD，
∴∠COD=2∠DOF=60°，
∵OB⊥OD，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOC=90°-60°=30°，
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOB=90°-30°=60°；
（2）∵OA平分∠BOE，
∴∠AOB=∠AOE，
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=90°-∠AOB，∠COF=90°-∠AOE，
∴∠BOC=∠COF，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF=∠DOF，
∴∠DOF=$\frac{1}{3}$∠BOD=$\frac{1}{3}$×90°=30°．
故答案為30°．

點評 本題考查了垂線：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直．也考查了角平分線的定義和鄰補角．