Question

4．已知銳角三角形ABC的三個內角A、B、C滿足：A＞B＞C，用a表示A-B，B-C以及90°-A中的最小者，則a的最大值為15°．

Answer 1

分析 先根據條件得出A-B≥α，B-C≥α，90°-A≥α，將此三個式子利用不等式的性質進行化簡，最后用三角形的內角和定理即可得出結論．

解答 解：∵a表示A-B，B-C以及90°-A中的最小者，
∴A-B≥α，B-C≥α，90°-A≥α，
∴2（A-B）≥2α，3（90°-A）≥3α，
∴2（A-B）+（B-C）+3（90°-A）≥2α+α+3α，
∴270°-（A+B+C）≥6α，
∵銳角三角形ABC的三個內角A、B、C，
∴A+B+C=180°，
∴6α≤90°，
∴α≤15°，
而當A-B=B-C=90°-A=15°，得
A=75°，B=60°，C=45°，滿足題設條件，
所以，α可取得最大值15°，
故答案為15°．

點評 此題主要考查了不等式的性質，三角形的內角和定理，解本題的關鍵是得出A-B≥α，B-C≥α，90°-A≥α，難點是這三個式子的處理．