Question

12．如圖，正方形ABCD的頂點A的坐標為（0，3），頂點B在軸的正方向上，tan∠OBA=3，對角線AC，BD交于點P，射線OP交AB于點N，交DC于點M，點R從O出發沿OM方向以每秒$\sqrt{2}$個單位的速度運動，運動時間為t．
（1）求點D、點P的坐標；
（2）t為何值時，△DMR與△ANO相似？
（3）點R運動過程中，是否存在以點A，點B，點C，點R為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出相應t的值；若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點D作DF⊥y軸于點F，作CE⊥x軸于點E，首先求出OB的長，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC≌△DFA，故可得出C、D的坐標，利用中點坐標公式即可得出P點坐標；
（2）過點N作NE⊥AO，于點E，過點A作AF⊥MS于點F，MS⊥x軸于點S，求出M、N兩點坐標，再分∠DRM=45°和∠MDR=45°兩種情況進行討論；
（3）分情況進行討論，頂邊和底邊分別為BC、AR，此時BC∥AR，結合已知和已證求出R點的坐標，求出t即可；頂邊、底邊分別為CR、AB，此時CR∥AB，結合已知和已證求出R點的坐標，求出t即可．

解答 解：（1）如圖1，過點D作DF⊥y軸于點F，作CE⊥x軸于點E．

∵tan∠ABO=3，
∴$\frac{OA}{OB}$=3，
∵A（0，3），
∴OA=3，OB=1，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，∠ABO=∠BCE，
在△AOB與△BEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CBE}\\{AB=BC}\\{∠ABO=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BEC，
同理可得，△AOB≌△BEC≌△DFA，
∴BE=DE=3，CE=AF=1，
∴C（4，1），D（3，4），
∵P為正方形ABCD的對稱中心，
∴P是AC的中點，
∴P（ $\frac{0+4}{2}$，$\frac{3+1}{2}$），即（2，2），
∴D（3，4）、P（2，2）；

（2）如圖2中，

∵P是正方形的對稱中心，由A（0，3），C（4，1），
∴P（2，2）；
∴∠MOB=45°，
∴∠AON=45°，
∵點R從O出發沿OM方向以$\sqrt{2}$個單位每秒速度運動，運動時間為t，
∴OR=$\sqrt{2}$t，
∴∠DMR=∠ANO，
若△ANO與△DMR相似，則∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°，
①當∠MDR=45°時，R、P重合，
∵R（2，2），
∴t=2；
②當∠DRM=45°時，DR∥y軸，
∵D（3，4），
∴R（3，3），
∴t=3，
∴當t=2或t=3時，△ANO與△DMR相似．

（3）若以A、B、C、R為頂點的四邊形是梯形，分三種情況：
①CR∥AB；此時R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直線CD：y=-3x+13；
當x=y時，-3x+13=x，解得x=$\frac{13}{4}$；
即M（即R）點橫坐標為$\frac{13}{4}$，H（$\frac{13}{4}$，0）；
故t=$\frac{13}{4}$；
同理可求得：
②AR∥BC時，t=$\frac{9}{2}$；
③BR∥AC時，t=$\frac{1}{3}$．
綜上所述，當CR∥AB時，t=$\frac{13}{4}$，
當AR∥BC時，t=$\frac{9}{2}$，
當BR∥AC時，t=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、正方形的性質、梯形的判定定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．