Question

3．如圖，△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，設運動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，CP把△ABC的周長分成相等的兩部分．
（2）當t為何值時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，并求出此時P經過的路程；
（3）當t為何值時，△BCP為等腰三角形？（直接寫出所有t的值）

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，當CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時，點P在AB上，此時CA+AP=BP+BC=12cm，再根據時間=路程÷速度即可求解；
（2）根據中線的性質可知，點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，進而求解即可；
（3）△BCP為等腰三角形時，分三種情況進行討論：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC，根據等腰三角形的性質計算即可．

解答 解：（1）6²+8²=10²，
∴△ABC是直角三角形，
由題意得，2t=10+8-2t+6，
解得，t=6，
答：當t為6時，CP把△ABC的周長分成相等的兩部分，
（2）∵三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，
∴2t=8+5，
解得t=6.5，
∴P經過的路程為13cm；
（3）△BCP為等腰三角形時，
分三種情況：①如果CP=CB，那么點P在AC上，CP=6cm，此時t=6÷2=3（秒）；
如果CP=CB，那么點P在AB上，CP=6cm，此時t=5.4（秒）；
點P還可以在AB上，作AB邊上的高CE，
$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CE，
則CD=4.8，
由勾股定理得，EP=$\sqrt{{6}^{2}-4．{8}^{2}}$=3.6，
∴BP=7.2，AP=2.8，
∴t=（8+2.8）÷2=5.4（秒）；
②如果BC=BP，那么點P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），此時t=12÷2=6（秒）；
③如果PB=PC，那么點P在BC的垂直平分線與AB的交點處，即在AB的中點，此時CA+AP=8+5=13（cm），
t=13÷2=6.5（秒）；
綜上可知，當t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒時，△BCP為等腰三角形．

點評 本題考查的是三角形的周長、面積的計算、勾股定理的逆定理的應用，掌握三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．