Question

8．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，矩形CDEF的頂點D是線段BC上一動點，點F在射線CA上，且CF=2CD，點D從點C出發，運動至點B停止，設CF=x，矩形CDEF與△ABC重合部分的面積為y，y關于x的函數圖象如圖2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤4，4＜x≤16時，函數的關系式不同）．
（1）填空：BC的長為8；
（2）求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數圖象中x=16，即CF=16，結合CF=2CD且此時點B與點D重合即可得；
（2）由題意知AC=4、CF=x、CD=EF=$\frac{x}{2}$，分以下三種情況分別求解可得：①0≤x≤3.2時，重合部分面積=S_矩形CDEF；②3.2＜x≤4時，重疊部分面積=S_△ABC-S_△BDP-S_△AQF；③4＜x≤16時，重疊部分面積=S_△ABC-S_△BDM．

解答 解：（1）由函數圖象可知x=16時，運動停止，即點B與點D重合，且CF=16，
∵CF=2CD，
∴CD=8，即BC=8，
故答案為：8；

（2）由函數圖象可知AC=4，CF=x，CD=EF=$\frac{x}{2}$，
①如圖1，當點E在AB上時，AF=AC-CF=4-x，

∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{\frac{x}{2}}{8}$，
解得：x=3.2，
∴當0≤x≤3.2時，矩形CDEF與△ABC重合部分為矩形CDEF，
則其面積y=x•$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x²；
②如圖2，當3.2＜x≤4時，

∵DP∥AC，QF∥BC，
∴△BDP∽△BCA，△AQF∽△ABC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DP}{CA}$、$\frac{QF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，即$\frac{8-\frac{x}{2}}{8}=\frac{DP}{4}$、$\frac{QF}{8}=\frac{4-x}{4}$，
解得：DP=4-$\frac{x}{4}$、QF=8-2x，
則y=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{1}{2}$×（8-$\frac{x}{2}$）（4-$\frac{x}{4}$）-$\frac{1}{2}$（4-x）（8-2x）=-$\frac{17}{16}$x²+10x-16；
③如圖3，當4＜x≤16時，

∵DM∥AC，
∴△BDM∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DM}{CA}$，即$\frac{8-\frac{x}{2}}{8}$=$\frac{DM}{4}$，
解得：DM=4-$\frac{x}{4}$，
則y=$\frac{1}{2}$×4×8-$\frac{1}{2}$×（8-$\frac{x}{2}$）（4-$\frac{x}{4}$）=-$\frac{{x}^{2}}{16}$+2x；
綜上，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}}&{（0≤x≤3.2）}\\{-\frac{17}{16}{x}^{2}+10x-16}&{（3.2＜x≤4）}\\{-\frac{1}{16}{x}^{2}+2x}&{（4＜x≤16）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查動點問題的函數圖象，根據題意理解函數圖象中x=4和x=16的實際意義及分類討論思想、相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．