Question

16．在平面直角坐標系中，已知點A、B的坐標分別為A（6，0）、B（0，2），以AB為斜邊在右上方作Rt△ABC．設點C坐標為（x，y），則（x+y）的最大值=4+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據以AB為斜邊在右上方作Rt△ABC，可知點C在以AB為直徑的⊙D上運動，根據點C坐標為（x，y），可構造新的函數x+y=m，則函數與y軸交點最高處即為x+y的最大值，此時，直線y=-x+m與⊙D相切，再根據圓心點D的坐標，可得C的坐標為（3+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），代入直線y=-x+m，可得m=4+2$\sqrt{5}$，即可得出x+y的最大值為4+2$\sqrt{5}$．

解答 解：由題可得，點C在以AB為直徑的⊙D上運動，
點C坐標為（x，y），可構造新的函數x+y=m，則函數與y軸交點最高處即為x+y的最大值，
此時，直線y=-x+m與⊙D相切，交x軸與E，如圖所示，
連接OD，CD，
∵A（6，0）、B（0，2），
∴D（3，1），
∴OD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴CD=$\sqrt{10}$，
根據CD⊥EF可得，C、D之間水平方向的距離為$\sqrt{5}$，鉛垂方向的距離為$\sqrt{5}$，
∴C（3+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），
代入直線y=-x+m，可得
1+$\sqrt{5}$=-（3+$\sqrt{5}$）+m，
解得m=4+2$\sqrt{5}$，
∴x+y的最大值為4+2$\sqrt{5}$，
故答案為：4+2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了切線的性質，待定系數法求一次函數解析式以及等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是構造一次函數圖象，根據圓的切線垂直于經過切點的半徑進行求解．