Question

1．已知：如圖，AB=AC，點D是BC的中點，AD=AE，AE⊥BE，垂足為E．
（1）求證：AB平分∠DAE；
（2）若BE∥AC，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形三線合一的性質可得到AD⊥BC，已知AD=AE，AE⊥BE，從而可根據HL判定△ABE≌△ABD，由全等三角形的性質可得到∠EAB=∠DAB，即AB平分∠DAE；
（2）根據等腰三角形的性質得到∠ABC=∠C，根據全等三角形的性質得到∠ABE=∠ABD，得到∠ABE=∠ABD=∠C，根據平行線的性質得到∠EBC+∠C=∠ABE+∠ABD+∠C=180°，于是得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，又AE⊥BE，
在Rt△ABE和Rt△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ABD（HL），
∴∠EAB=∠DAB，
∴AB平分∠DAE；
（2）△ABC是等邊三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵Rt△ABE≌Rt△ABD，
∴∠ABE=∠ABD，
∴∠ABE=∠ABD=∠C，
∵BE∥AC，
∴∠EBC+∠C=∠ABE+∠ABD+∠C=180°，
∴∠C=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．