Question

9．如圖，?ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2，∠B=135°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是$\sqrt{13}$-1．

Answer 1

分析 根據題意，在N的運動過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當A′C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、A′、C三點共線，得出A′的位置，進而利用銳角三角函數關系求出A′C的長即可．

解答 解：如圖所示：以M為圓心，AM的長為半徑畫弧．連接MC，交弧MC于點A'．此時A'C的值最小．
過點M，作ME⊥CD，交CD的延長線于點E．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=135°，
∴∠ADC=135°，
∴∠EMD=∠EDM=45°．
∵M是AD的中點，AD=BC=2．
∴AM=MD=A'M=1．
在直角△MED中，由勾股定理得ME=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CE=DE+CD=DE+AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2$\sqrt{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
在直角△MEC中，由勾股定理得CM=$\sqrt{13}$，
∴A'C=CM-A'M=$\sqrt{13}$-1．
故答案是：$\sqrt{13}$-1．

點評 此題主要考查了菱形的性質以及銳角三角函數關系等知識，得出A′點位置是解題關鍵．